درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

با تابع $f(x) = {x^3}$ آشنایی دارید. از آنجا که مشتق این تابع $f'(x)\left| { = 3{x^2}} \right.$ در $x = 0$ برابر صفر و در سایر نقاط همواره مثبت است، لذا شیب خطوط مماس بر منحنی این تابع در $x = 0$ برابر صفر و در تمام نقاط دیگر مثبت است و این تابع همواره صعودی است. با این حال اگر خطوط مماس بر این منحنی را به‌صورت پاره خط‌هایی کوچک در اطراف نقاط مماس رسم کنید خواهید دید که این پاره خط‌ها برای $x$های منفی در بالای نمودار و برای $x$های مثبت در زیر نمودار واقع‌اند. اصطلاحاً گفته می‌شود که جهت تقعر این تابع در بازهٔ $( - \infty ,0)$ به سمت پایین و در بازهٔ $(0, + \infty )$ به سمت بالا است. برای درک بهتر مفهوم تقعر منحنی یک تابع به دو شکل زیر توجه کنید.

آنچه در فعالیت قبل مورد بررسی قرار گرفت به‌طور خلاصه در قضیهٔ زیر، که آزمونی برای تعیین جهت تقعر نمودار تابع است، آورده شده و در این کتاب اثباتِ آن مدنظر نیست.

مثال: جهت تقعر توابع زیر را در دامنهٔ تعریفشان به‌دست آورید.

$f(x) = \frac{1}{x}$ (الف

$g(x) = {x^3} + 3{x^2} + 1$ (ب

حل: الف) داریم ${D_f} = \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$

$f(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'' = \frac{2}{{{x^3}}}$

بنابراین:

اگر $x \gt 0$، آنگاه $f''(x) \gt 0$ و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر بازهٔ $(0, + \infty )$ رو به بالاست.

اگر $x \lt 0$، آنگاه $f''(x) \lt 0$ و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر بازهٔ $( - \infty ,0)$ رو به پایین است.

ب) داریم ${D_g} = \mathbb{R}$

$g(x) = {x^3} + 3{x^2} + 1 \Rightarrow g'(x) = 3{x^2} + 6x \Rightarrow g''(x) = 6x + 6$

$g''(x) = 0 \Rightarrow 6x + 6 = 0 \Rightarrow x =  - 1$

بنابراین:

اگر $x \gt  - 1$ آنگاه $g''(x) \gt 0$ و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر بازهٔ $( - 1, + \infty )$ به سمت بالاست.

اگر $x \lt  - 1$ آنگاه $g''(x) \lt 0$ و لذا جهت تقعر نمودار این تابع بر بازهٔ $( - \infty , - 1)$ به سمت پایین است.

نقطۀ عطف نمودار یک تابع

نمودار تابع $f(x) = {x^3}$ را در نظر بگیرید. دیدیم که جهت تقعر نمودار این تابع در بازهٔ $( - \infty ,0)$ رو به پایین و در بازهٔ $(0, + \infty )$ رو به بالاست بنابراین نقطه $x = 0$ نقطه‌ای است که جهت تقعر منحنی در آن عوض می‌شود. از طرفی در $x = 0$ منحنی دارای مماس نیز هست. چنین نقطه‌ای از یک منحنی را نقطهٔ عطف آن منحنی گوییم. به عبارت دیگر:

از شرط (الف) در تعریفِ نقطهٔ عطفِ تابع $f$ نتیجه می‌شود که یا $f'(c)$ موجود است و یا تابع $f$ در نقطه $c$ مماس قائم دارد.

از شرایط (ب) می‌توان نتیجه گرفت که خط مماس بر نمودار تابع در نقطهٔ $\left( {c,f(c)} \right)$ از نمودار تابع عبور می‌کند.

از آنجا که تقعر تابع در دو طرف نقطهٔ عطف تغییر می‌کند؛ لذا $f''$ در یک طرف نقطهٔ $c$ مثبت و در طرف دیگر آن منفی است. بنابراین $f''(c)$ نمی‌تواند مقداری به جز صفر داشته باشد؛ یعنی برای اینکه $\left( {c,f(c)} \right)$ یک نقطهٔ عطف منحنی باشد، یا باید $f''(c)$ وجود نداشته باشد و یا اگر وجود دارد باید داشته باشیم $f''(c) = 0$. با این حال شرط $f''(c) = 0$ برای نقطهٔ عطف بودن $x = c$ به تنهایی کافی نیست؛ یعنی ممکن است $f''(c) = 0$ ولی $x = c$ یک نقطهٔ عطف تابع نباشد. به‌طور مثال تابع $f(x) = {x^4}$ را بررسی می‌کنیم. داریم:

$f'(x) = 4{x^3}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,f''(x) = 12{x^2}$

با اینکه $f''(0) = 0$ اما تابع $f''$ در طرف $x = 0$ مثبت است و لذا تقعر همواره به سمت بالاست و جهت تقعر در $x = 0$ عوض نمی‌شود و  لذا $x = 0$ یک نقطهٔ عطف این تابع نیست.

مثال: جهت تقعر نمودار تابع زیر را مشخص کنید و نقاط عطف آنها را به‌دست آورید.

$f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 15$ (الف

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ (ب

حل: الف)

$f''(x) = 6x - 12$     و    $f'(x) = 3{x^2} - 12x$

$f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2$

از آنجا که $f''(x)$ یک تابع خطی است، و در تمام $\mathbb{R}$ تعریف شده است و تنها در $x = 2$ برابر صفر می‌شود، بنابراین تنها نقطه‌ای که می‌تواند نقطهٔ عطف باشد $x = 2$ است به شرط آنکه:

1) $f'(2)$ موجود باشد

2) $f''$ در دو طرف $x = 2$ تغییر علامت دهد.

اما $f'$ یک تابع چند جمله‌ای است و دامنهٔ آن $\mathbb{R}$ است و $f'(2)$ نیز موجود و برابر 12- است. از طرفی داریم:

ب)

$f(x) = \sqrt[3]{x} \to f'(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} \to f''(x) = \frac{{ - 2}}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}}$

از آنجا که مقدار ${\sqrt[3]{{{x^5}}}}$ به ازای $x$های مثبت، مثبت و به ازای $x$های منفی، منفی است.

داریم:

اگر $x \gt 0$، آنگاه $f''(x) \lt 0$ و بنابراین جهت تقعر منحنی به سمت پایین است.

اگر $x \lt 0$، آنگاه $f''(x) \gt 0$ و بنابراین جهت تقعر منحنی به سمت بالاست.

لذا جهت تقعر این تابع در $x = 0$ عوض می‌شود. از طرفی در فصل مشتق دیدیم که این تابع در نقطهٔ $x = 0$ دارای مماس (مماس قائم) است.

بنابراین $x = 0$ نقطهٔ عطف این تابع است.